数Ⅲの数列でみる次の問題をご存知であろうか

\begin{equation}a_{n}=1,a_{n+1}=\sqrt{a_{n}+2}で定められる数列a_nについて \lim_{n\to \infty}a_nを求めよ\end{equation}

1,高校数学
高校で習う一般的な回答は次のようである

数列$a_n$が常に2より小さいことを示す
$a_n=1$であり、$a_n<2⇒a_{n+1}<2$であるから帰納的に示される

であるからして、$f(x)=\sqrt{x+2}$を考えると区間[$a_n,2$]において、平均値の定理から
\begin{equation}\frac{f(2)-f(a_n)}{2-a_n}=f’(c)となるc,a_n<c<2が存在する。\end{equation}
よって、$f’(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+2}}$から、\begin{align}f’(2)&>\frac{f(2)-f(a_n)}{2-a_n}\\ \frac{1}{4} (2-a_n)&>2-a_{n+1}\end{align}
ここでこの式を繰り返し用い、\begin{equation}0<2-a_{n+1}<\frac{1}{4}(2-a_n)<...<\left(\frac{1}{4} \right )^n(2-a_1)\end{equation}

であるから、はさみうちの法則から

\begin{align}\lim_{n\to \infty}\left (\frac{1}{4} \right)^n(2-a_1)&=0　より \\ \lim_{n\to \infty}(2-a_n)&=0 \\ \lim_{n\to \infty}a_n=2\end{align}

以上のように回答する。

2,大学数学
ここで、大学数学より単調収束定理を用いれば、

前略)$0<a_n<2$であるからこの数列は有界である。

ここでこの数列が単調増加であることを示す。
$n=1$のとき$a_{n+1}=\sqrt{3}$であり、単調増加である。そして、$a_{n+1}>a_n$が成り立つと仮定すると、
$a_{n+2}=\sqrt{a_{n+1}+2}>\sqrt{a_n+2}=a_{n+1}$となり、帰納的にこの数列は単調増加であることが示される

よって単調収束定理からこの数列は収束値を持ち、これを$\alpha$と置くと\begin{align}\alpha&=\sqrt{\alpha+2} \\ &=2,-1\end{align}
ここで$a_n$は明らかに正であるため、$\alpha$=2

ではここで、チャート式大学教養微分積分に載ってて感動した方法を載せたい。

上の回答から、次の不等式が成り立つ\begin{equation}1≦a_n<2\end{equation}
よって$0≦\theta_n≦\frac{\pi}{3}$を用いて$a_n=2\cos {\theta_n}$
\begin{equation}a_{n+1}=\sqrt{aₙ+2}から、\end{equation}
\begin{align}2\cos \theta_{n+1}&=\sqrt{2\cos \theta_{n+2}}  \\  &=2\sqrt{\frac{1+\cos\theta_n}{2}} \\ &=2\cos\frac{\theta_n}{2} \end{align}
よって
\begin{equation}\theta_{n+1}=\frac{\theta_n}{2}\end{equation}
であり、$\theta_n=\frac{\pi}{3}$であるから、\begin{equation}\theta_n=\frac{\pi}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\end{equation}
即ち、\begin{equation}a_n=2\cos \frac{\pi}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\end{equation}
よって
\begin{align}\lim_{n\to \infty}2\cos \frac{\pi}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}&=2　から、 \\ \lim_{n\to \infty}a_n=2 \end{align}

なんということだろう、一般項が出せてしまった。